On considère une matrice $A$ carré d'ordre $n$ et un vecteur $b$ de $n$ composantes.
On cherche à résoudre un système de la forme : $Ax = b$
On considère une matrice $A$ carré d'ordre $n$ et un vecteur $b$ de $n$ composantes.
On cherche à résoudre un système de la forme : $Ax = b$
Illustration du système $Ax=b$.
On souhaite résoudre l'équation $Ax=b$ pour ce faire nous utilisons la méthode de factorisation LDR, elle permet de simplifier le "gros" système a résoudre en plusieurs plus petit systèmes plus simple.
On va donc devoir décomposer la matrice $A$ sous la forme $LDR$ où
Décomposition $LDR$ de la matrice $A$.
Idée générale du produit LDR
On a une décomposition :
$$A=LDR$$
avec
Le calcul du produit se fait de préférence dans l’ordre :
Illustration du produit matriciel $AB=C$.
On a alors ici, par exemple :
$$C_{23}=\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}a_{2k}b_{k3}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}$$
Puisque $A=LDR$, pour déterminer les coefficients des matrices $L$, $D$ et $R$, nous allons utiliser les coefficients de la matrice initiale $A$.
À la fin, notre matrice $A$ devrait ressembler à cela :
Illustration de la matrice $A$ après factorisation $LDR$.
Après avoir calculer la décomposition $LDR$, on a :
$$A=LDR$$
Depuis le début, nous on souhaite résoudre :
$$\begin{align*} Ax & = b \\ L\underbrace{D\underbrace{Rx}_{=z}}_{=y} &= b\end{align*}$$
Avec ceci, il faut donc résoudre trois systèmes dans cet ordre :
Le vecteur solution $x$ est celui du système initial $Ax=b$.
Pour vérifier le vecteur solution $x$ trouvé il faut calculer ce qu'on appelle le résidu :
$$r=Ax-b$$
Il faut que la norme du résidu soit nulle, il existe plusieurs expressions de la norme :
On calcul une de ses trois normes, données dans le cours lorsqu'elle est nulle (ou presque car on manipule des réels), la solution est considérée valide.