Correction TD1 Exercice 1

Table des matières

Énoncé de l'exercice

Exercice 1

Soit le système $Ax=b$ tel que :

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 4 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 3\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad b=\begin{pmatrix}3\\5\\8\end{pmatrix}$$

Factoriser $A$ sous la forme $LDR$ où $L$ est une matrice diagonale inférieure à diagonale unité, $D$ est diagonale et $R$ est triangulaire supérieure à diagonale unité, puis résoudre le système.

Correction par étapes

Factorisation LDR

Commençons par calculer $A=LDR$ où :

  • $L$ est une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité
  • $D$ est une matrice diagonale
  • $R$ est une matrice triangulaire supérieure à diagonale unité

On a alors :

$$L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \; ; \; D= \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & 0 \\0 & d_{22} & 0 \\ 0 &0 & d_{33} \end{pmatrix} \; ; \; R= \begin{pmatrix} 1 & r_{12} & r_{13} \\ 0 & 1 & r_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Ce sont les trois matrices générales. Nous on va devoir calculer $LDR$ donc faire deux produits matricels.

1

Propriété

À retenir

Soit $\mathcal{A}=\mathcal{M}_{l_1c_1}(\mathbb{K})$ et $\mathcal{B}=\mathcal{M}_{l_2c_2}(\mathbb{K})$ deux matrice d'ordre $l_1\times c_1$ et $l_2\times c_2$.

  • Le produit matriciel n'est pas commutatif.

$$\mathcal{A} \times \mathcal{B} \neq \mathcal{B} \times \mathcal{A}$$

  • Le produit matriciel est associatif :

$$(\mathcal{A} \times \mathcal{B}) \times \mathcal{C} = \mathcal{A} \times (\mathcal{B} \times \mathcal{C})$$

Définition

Soient $\mathcal{A} = (a_{ij})_{\substack{1 \le i \le l_1 \\ 1 \le j \le c_1}}\in\mathcal{M}_{l_1c_1}(\mathbb{K})$ et $\mathcal{B} = (b_{ij})_{\substack{1 \le i \le l_2 \\ 1 \le j \le c_2}}\in\mathcal{M}_{l_2c_2}(\mathbb{K})$, avec $l_1,l_2, c_1, c_2 \in \mathbb{N}^*$.

On appelle produit matriciel de $\mathcal{A}$ par $\mathcal{B}$ la matrice $\mathcal{C}= (c_{ij})_{\substack{1 \le i \le l_1 \\ 1 \le j \le c_2}}\in\mathcal{M}_{l_1c_2}(\mathbb{K})$. Les coefficients de la matrice résultante $\mathcal{C}$ sont données par :

$$c_{ij}=\underset{k=1}{\overset{p}{\sum}}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+a_{ip}b_{pj}$$

Le produit matriciel est possible si le nombre de colonnes de $\mathcal{A}$ est égal au nombre de lignes de $\mathcal{B}$ : $c_1=l_2$.

Calcul de DR

Commençons par calculer le produit $DR$.

$$\begin{align*}DR&=\begin{pmatrix}d_{11}&0&0\\0&d_{22}&0\\0&0&d_{33}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&r_{12}&r_{13}\\0&1&r_{23}\\0&0&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}d_{11}\cdot1+0\cdot0+0\cdot0&d_{11}\cdot r_{12}+0\cdot1+0\cdot0&d_{11}\cdot r_{13}+0\cdot r_{23}+0\cdot1\\0\cdot1+d_{22}\cdot0+0\cdot0&0\cdot r_{12}+d_{22}\cdot1+0\cdot0&0\cdot r_{13}+d_{22}\cdot r_{23}+0\cdot1\\0\cdot1+0\cdot0+d_{33}\cdot0&0\cdot r_{12}+0\cdot1+d_{33}\cdot0&0\cdot r_{13}+0\cdot r_{23}+d_{33}\cdot1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}d_{11}&d_{11}r_{12}&d_{11}r_{13}\\0&d_{22}&d_{22}r_{23}\\0&0&d_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$$

Ainsi, on obtient :

$$\boxed{DR = \begin{pmatrix}d_{11}&d_{11}r_{12}&d_{11}r_{13}\\0&d_{22}&d_{22}r_{23}\\0&0&d_{33}\end{pmatrix}}$$

Calcul de L(DR)

Après avoir calculé $DR$ nous pouvons maintenant calculer $L(DR)$.

$$\begin{align*}L(DR)&=\begin{pmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}d_{11}&d_{11}r_{12}&d_{11}r_{13}\\0&d_{22}&d_{22}r_{23}\\0&0&d_{33}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1\cdot d_{11}+0\cdot0+0\cdot0&1\cdot d_{11}r_{12}+0\cdot d_{22}+0\cdot0&1\cdot d_{11}r_{13}+0\cdot d_{22}r_{23}+0\cdot d_{33}\\l_{21}\cdot d_{11}+1\cdot0+0\cdot0&l_{21}\cdot d_{11}r_{12}+1\cdot d_{22}+0\cdot0&l_{21}\cdot d_{11}r_{13}+1\cdot d_{22}r_{23}+0\cdot d_{33}\\l_{31}\cdot d_{11}+l_{32}\cdot0+1\cdot0&l_{31}\cdot d_{11}r_{12}+l_{32}\cdot d_{22}+1\cdot0&l_{31}\cdot d_{11}r_{13}+l_{32}\cdot d_{22}r_{23}+1\cdot d_{33}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}d_{11}&d_{11}r_{12}&d_{11}r_{13}\\l_{21}d_{11}&l_{21}d_{11}r_{12}+d_{22}&l_{21}d_{11}r_{13}+d_{22}r_{23}\\l_{31}d_{11}&l_{31}d_{11}r_{12}+l_{32}d_{22}&l_{31}d_{11}r_{13}+l_{32}d_{22}r_{23}+d_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$$

Ainsi on obtient :

$$\boxed{LDR =\begin{pmatrix}d_{11}&d_{11}r_{12}&d_{11}r_{13}\\l_{21}d_{11}&l_{21}d_{11}r_{12}+d_{22}&l_{21}d_{11}r_{13}+d_{22}r_{23}\\l_{31}d_{11}&l_{31}d_{11}r_{12}+l_{32}d_{22}&l_{31}d_{11}r_{13}+l_{32}d_{22}r_{23}+d_{33}\end{pmatrix}}$$

Conclusion de la factorisation

Ainsi on a :

$$A=LDR=\begin{pmatrix}d_{11}&d_{11}r_{12}&d_{11}r_{13}\\l_{21}d_{11}&l_{21}d_{11}r_{12}+d_{22}&l_{21}d_{11}r_{13}+d_{22}r_{23}\\l_{31}d_{11}&l_{31}d_{11}r_{12}+l_{32}d_{22}&l_{31}d_{11}r_{13}+l_{32}d_{22}r_{23}+d_{33}\end{pmatrix}$$

Déterminer les coefs de L, D et R

Puisque on a posé

$$A=LDR$$

Alors on obtient :

$$\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 \\ 4 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d_{11}&d_{11}r_{12}&d_{11}r_{13}\\l_{21}d_{11}&l_{21}d_{11}r_{12}+d_{22}&l_{21}d_{11}r_{13}+d_{22}r_{23}\\l_{31}d_{11}&l_{31}d_{11}r_{12}+l_{32}d_{22}&l_{31}d_{11}r_{13}+l_{32}d_{22}r_{23}+d_{33}\end{pmatrix}$$

Grâce aux coefs de la matrice $A$ on va pouvoir déduire un à un les coefs de la matrice $LDR$. Ceci nous permettra de reconstituer les matrices $L$, $D$ et $R$ de manière indépendante.

On note $a_{ij}$ le coef de la matrice $A$ à la ligne $i$ et à la colonne $j$. Pour déterminer chaque inconnu on va lire les coefs de la matrice $A$ dans l'ordre pour être sûr de ne rien oublier.

  • $a_{11}=d_{11}=1$ d'où $$\boxed{d_{11}=1}$$
  • $a_{12}=d_{11}r_{12}=1$ alors $d_{11}r_{12}=1 \Longleftrightarrow 1\cdot r_{12}=1$ donc $$\boxed{r_{12}=1}$$
  • $a_{13}=d_{11}r_{13}=-2$ alors $d_{11}r_{13}=-2 \Longleftrightarrow 1\cdot r_{13}=-2$ donc $$\boxed{r_{13}=-2}$$
  • $a_{21}=l_{21}d_{11}=4$ alors $l_{21}d_{11}=4 \Longleftrightarrow l_{21}\cdot1=4$ donc $$\boxed{l_{21}=4}$$
  • $a_{22}=l_{21}d_{11}r_{12}+d_{22}=-2$ alors $l_{21}d_{11}r_{12}+d_{22}=-2 \Longleftrightarrow 4\cdot1\cdot1+d_{22}=-2$ donc $d_{22}=-2-4=-6$, $$\boxed{d_{22}=-6}$$
  • $a_{23}=l_{21}d_{11}r_{13}+d_{22}r_{23}=1$ alors $l_{21}d_{11}r_{13}+d_{22}r_{23}=1 \Longleftrightarrow 4\cdot1\cdot (-2)+(-6)r_{23}=1 \Longleftrightarrow -8-6r_{23}=1$ ainsi $-6r_{23}=9 \Longleftrightarrow r_{23}=\frac{9}{-6}=-\frac{3}{2}$ on a $$\boxed{r_{23}=-\dfrac{3}{2}}$$
  • $a_{31}=l_{31}d_{11}=3$ alors $l_{31}d_{11}=3 \Longleftrightarrow l_{31}\cdot1=3$ donc $$\boxed{l_{31}=3}$$
  • $a_{32}=l_{31}d_{11}r_{12}+l_{32}d_{22}=-1$ donc $l_{31}d_{11}r_{12}+l_{32}d_{22}=-1 \Longleftrightarrow 3\cdot1\cdot1+l_{32}\cdot-6 = -1$ d'où $3-6l_{32}=-1$ ainsi $-6l_{32}=-4 \Longleftrightarrow l_{32}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$ ; donc $$\boxed{l_{32}=\dfrac{2}{3}}$$
  • $a_{33}=l_{31}d_{11}r_{13}+l_{32}d_{22}r_{23}+d_{33}=3$ donc $l_{31}d_{11}r_{13}+l_{32}d_{22}r_{23}+d_{33}=3 \Longleftrightarrow 3\cdot1\cdot(-2)+\frac{3}{2}\cdot(-6)\cdot(-\frac{3}{2})+d_{33}=3$

Posons le calcul, on ne sait jamais :

$$\begin{align*}3\cdot1\cdot(-2)+\frac{2}{3}\cdot(-6)\cdot(-\frac{3}{2})+d_{33}& =3 \\ -6 +\frac{36}{6}+d_{33} &= 3 \\ -6+6+d_{33}& = 3 \\\boxed{d_{33}=3}\end{align*}$$

Reconstruction des matrices L, D et R

Puisqu'on a réussi à déterminer les inconnus de chaque matrices on va alors pouvoir les exprimer une à une. Ainsi on obtient :

$$L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & \frac{2}{3} & 1\end{pmatrix} \; ; \; D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} \; ; \; R=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\0& 0 & 1\end{pmatrix}$$

Résolution des systèmes

On cherche à résoudre le système $Ax=b$. Ce qu'on cherche nous c'est le vecteur solution $x$.

Puisque $A=LDR$ :

$$\begin{align*}Ax &= b \\(LDR)x&=b \\LD\underbrace{Rx}_{=z} &= b \\L\underbrace{Dz}_{=y} &= b \\Ly &=b\end{align*}$$

Ainsi, il faut résoudre le système en trois étapes :

  1. $Ly = b$
  2. $Dz = y$
  3. $Rx = z$

C'est justemment ce que l'on va faire.

Résolution de Ly=b

On a :

$$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & \frac{2}{3} & 1\end{pmatrix}}_{L}\underbrace{\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}}_y = \underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 8\end{pmatrix}}_b$$

Chaque ligne des matrices correspond à une ligne du système. On obtient alors le système suivant :

$$\begin{cases} y_1 &= 3 \\ 4y_1 + y_2 &= 5 \\ 3y_1+\frac{2}{3}y_2+y_3 &= 8\end{cases}$$

On note $L_i$ la $i$-ième ligne du système.

  • D'après $L_1$ on a $y_1=3$.
  • D'après $L_2$ on a $4y_1+y_2=5 \Longleftrightarrow 4\cdot3+y_2=5 \Longleftrightarrow 1y_2=5-12=-7$
  • D'après $L_3$ on a $3y_1+\frac{2}{3}y_2+y_3=8 \Longleftrightarrow 3\cdot3+\frac{2}{3}\cdot(-7)+y_3=8$

Posons pour plus de lisibilité ici

$$\begin{align*}3\cdot3+\frac{2}{3}\cdot(-7)+y_3&=8 \\9-\frac{14}{3}+y_3 &= 8 \\\frac{27-14}{3}+y_3&=\frac{24}{3} \\y_3 &= \frac{24-(27-14)}{3} \\y_3 &= \frac{11}{3}\end{align*}$$

D'où :

$$\boxed{y = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ \dfrac{11}{3}\end{pmatrix}}$$

Résolution de Dz=y

On a :

$$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& -6 & 0 \\ 0& 0& 3\end{pmatrix}}_{D}\underbrace{\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}}_z = \underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ \dfrac{11}{3}\end{pmatrix}}_y$$

Chaque ligne des matrices correspond à une ligne du système. On obtient alors le système suivant :

$$\begin{cases}z_1 &= 3 \\ -6z_2 &= -7 \\ 3z_3 &= \frac{11}{3}\end{cases}$$

On note $L_i$ la $i$-ième ligne du système.

  • D'après $L_1$ on a $z_1=3$
  • D'après $L_2$ on a $-6z_2=-7 \Longleftrightarrow z_2=\frac{7}{6}$
  • D'après $L_3$ on a $3z_3=\frac{11}{3} \Longleftrightarrow z_3 = \frac{11}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{11}{9}$

D'où

$$\boxed{z=\begin{pmatrix} 3 \\ \dfrac{7}{6} \\ \dfrac{11}{9} \end{pmatrix}}$$

Résolution de Rx=z

On a :

$$\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{R}\underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_x = \underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ \dfrac{7}{6} \\ \dfrac{11}{9}\end{pmatrix}}_z$$

Chaque ligne des matrices correspond à une ligne du système. On obtient alors le système suivant :

$$\begin{cases} x_2+x_2-2x_3 &= 3 \\ x_2 - \frac{3}{2}x_2 &= \frac{7}{6} \\ x_3 &= \frac{11}{9} \end{cases}$$

On note $L_i$ la $i$-ième ligne du système.

  • D'après $L_3$ on a $x_3=\frac{11}{9}$
  • D'après $L_2$ on a

$$\begin{align*}x_2 - \frac{3}{2}x_3 &= \frac{7}{6} \\x_2 - \frac{3}{2}\cdot\frac{11}{9} &= \frac{7}{6} \\x_2 - \frac{33}{18} &= \frac{21}{18} \\x_2 &= \frac{21+33}{18} = \frac{54}{18}=3\end{align*}$$

  • D'après $L1$ on a

$$\begin{align*}x_1+x_2-2x_3 &= 3 \\ x_1 +3-2\cdot\frac{11}{9} &= 3 \\x_1 + \cancel{3} -\frac{22}{9} &= \cancel{3} \\x_1 &= \frac{22}{9} \end{align*}$$

D'où

$$\boxed{x = \begin{pmatrix} \dfrac{22}{9} \\ 3 \\ \dfrac{11}{9}\end{pmatrix}}$$

Vérification finale

On a trouvé le vecteur solution $x$ maintenant suffit de vérifier si il est correct pour se faire il faut vérifier que

$$Ax-b=0$$

Vous devez retrouver le vecteur nul.

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