Soit $A=\{ 1,2,3,4,5 \}$ un ensemble fini et $\mathcal{R}$, $\mathcal{S}$ deux relations sur $A$ décrites par les matrices booléennes suivantes :

$$M_R=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \hspace{1cm} M_S=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$

1. Vérifier que $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont des relations d'ordre.
2. Représenter les relations par un graphe et donner leur diagramme de Hasse associé.

1. Soit $A=\{3, 6, 12, 24, 72\}$. Représenter le diagramme de Hasse de $(A, |)$ où $|$ représente la relation divise.
2. Même question avec $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6,10, 12, 15, 30, 60\}$.
3. Soit $A=\{2, 3, 4, 12\}$. Représenter le diagramme de Hasse du produit des ensembles $(A, |)$ et $(A, \leq)$.

Représenter les diagrammes de Hasse de tous les tris topologiques que l'on peut construire à partir de la relation d'ordre définie par le diagramme de Hasse suivant.

On considère l'ensemble $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ muni d'une relation d'ordre définie par le diagramme de Hasse suivant :

1. Pour chaque partie $B$ de $A$ ci-après, donner : les éléments minimaux maximaux, maximum, minimum. Les majorants, les minorants, ainsi que le supremum et l'infimum si ils existent.
2. $B=\{2,3,4,5,6\}$
3. $B=\{6,7\}$
4. $B=\{2,4,6,9\}$
5. $B=A$
6. $B=\{4,5,7\}$
7. $B=\{1,2,5\}$
8. Même question pour $A=\N$ muni de la relation d'ordre $|$.
9. $B=\{1,2,3\}$
10. $B=\{0,2,4,8\}$
11. $B=\{4,6,8\}$
12. $B=\{7\}$
13. $B=3\N$